CALCULO DE LIMITES

3.1.-LIMITE   DE  UNA  SUCESION

Definición formal

Una sucesión  \{\,x_n \} tal que \, n\geq 1 tiene límite \,l, cuando \,n tiende a \infty, si para todo valor \,\varepsilon por pequeño que sea, hay un valor \,n_0 a partir del cual si n_0″ /> tenemos que la distancia de \,l a \,x_n es menor que \,\varepsilon, es decir:

0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)

Notación

\lim_{n\to\infty} x_n=l o bien  x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l

o también

 x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty

o simplemente

 x_n \to x.

Ejemplos

  • La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … converge al límite 0.
  • La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, … es oscilante.
  • La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, … converge al límite 1.
  • Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
  • 0″ />
  • \lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
  • 0″ />
  • Propiedades
    • Si una sucesión \,\{a_n\} tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
    • Si una sucesión \,\{a_n\} tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
    • Si una sucesión \,\{a_n\} converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
    • Si una sucesion \,\{a_n\} tiende a menos infinito y alt=”\,\{a_n\} entonces \frac{1}{a_n} tiende a 0.

 

 

3.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.

Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función ; la segunda, no es la gráfica de una función:

 

En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.

Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica.

3.3 Cálculo de limites

Se describe la tendencia de una sucesión o función a medida que los parámetros se acercan a determinado valor.

  •    Lim (    +3x + 1 /  x²  +2)     =     1+3+1/1+2= 5/3

x–> 1

  • lim  (  – x / x + 1)  =    (-2)2  – (-2) / -2 +1  = 4+2 /-1  = 6/-1

x–> 2

concepto que describe la tendencia (lim) de una sucesion o funcion, a medida que los parametros parametros se acercan a determinado valor.

1.- lim        (x+3x+1/x+2) = 1+3+1/1+2 =5/3

x—> 1

2.- lim       ( x”-x/x+1) = (-2″) – (-2)/-2 +1 = 4+2/-1 = 6/-1 = -6

x—>-2

3.- lim       ( x” + 1/ x+2) = 1/2″ +1/1/+2 = 1/4 +1 / 1/2 +2 = 1+4/4 / 1+4 /2 = 5/4 / 5/2 = 10/20 = 1/2

* Es decir ” para calcular el limite sustituye en la funcion el valor al que tienen las x”

3.4 Propiedades de los limites

El límite de una función en un punto es único.

Sean f y g dos funciones.
Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m.

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones.
Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m.

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones.
Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m.

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido)  en el punto x = a, es l.

  • Límite de una constante  :
lim k=k
x–>c
  • Límite de la función identidad:
lim k f(x)=k
x–>c
  • Límite del producto de una función y una constante:
lim k f(x) = k lim f(x)
x–>c                 x–>c
  • Límite de una suma:
lim ( f(x)+g(x) = lim f(x) +lim g(x)
x–>c                          x–>c             x–>c
  • Límite de una resta:

lim (f(x) – g(x) ) = lim  f(x) -lim g(x)

x–>c                          x–>c       x–>c
  • Límite de un cociente:
 lim f (x)/ g (x) =  lim x–>c  f(x)/ lim x–>c  g(x)   si lim diferente de 0(cero)
  • Límite de  un logaritmo:
lim log f(x)  = log lim f(x)
x–>c                      x–>c

3.5 Limites laterales

Límites laterales

Hasta el momento hemos visto en los temas anteriores límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función $f$, en la que existe una discontinuidad cuando $x=a$:

notemos que cuando $x$ tiende hacia “a” por la derecha de “a” la función tiende a 2, pero cuando $x$ tiende hacia “a” por la izquierda de “a“, la función tiende hacia 1.

Escribimos $x\Rightarrow a^{+}$ para indicar que $x$ tiende hacia “a” por la derecha, es decir, tomando valores mayores que “a“.

Similarmente $x\Rightarrow a^{-}$ indica que $x$ tiende hacia “a” por la izquierda, o sea, tomando valores menores que “a“.

Utilizando ahora la notación de límites, escribimos $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=1}$. Estos límites reciben

el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.

Ejemplo:

Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función $h$ cuya representación gráfica es la siguiente:

Se tiene que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{h(x)}=3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{h(x)}=-1}$

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{h(x)}=-3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{h(x)}=1}$.

3.6 Limites infinitos Y  limites al infinito

LIMITES INFINITOS

Decimos que lim f(x)=\infty si para los valores de x proximos a a,      x→ a    los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)=\infty si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente,    lim f(x) = – \infty
x→a 

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – \infty
x→a 

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces  f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – \infty
x→ 0-
→ lim    1/|x| = \infty
                                               x→0 

lim 1/|x|\infty
x→a’

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x tiende a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Límite infinito positivo

límite

Límite en el infinito

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x tiende a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Límite infinito negativo

Función

Límite en menos infinito

3.7 Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente.

Hay tres tipos de asintotas:

1. Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

Asintota horizontal

Asintota horizontal

2. Asíntotas verticales

Asintotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

>

>

>

3. Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Ejemplo

Calcular las asíntotas de la función:

Asintotas

Asíntotas horizontales

Asintotas

Asíntotas verticales

Asintotas

Asintotas

Asíntotas oblicuas

Asintotas

Asintotas

Asintotas

3.8 Funciones continuas Y discontinuidades en un punto & en un intervalo

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Nota

Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en dicho punto.

Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.

Si una función es continua en un punto , entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de f(a).

Definición : Discontinuidades.

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el valor se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Definición : Continuidad en un intervalo.

Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c)=0

funciones continuas : son aquellas cuyas graficas pueden dibujarse sin leantar el lapiz del papel.

funcion continua en un punto: el analisis de la definicion de continuidad nos muestra que para ser continua en el punto a, una funcion debe satisfacer las siguientes condiciones.

1.- la funcion f debe estar definida en a ( de modo que f (a) exista).

2.- debe existir el limite de f (x) cuando x tiende a a.

3.- los numeros de las condiciones y 2  deben ser iguales

lim f(x) = f(a)

funcion continua en un intervalo:  se dividen en 2 partes

intervalo abierto: una funcion es cuntinua en un intervalo (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

estudiar la continuidad de la funcion f(x)

f(x)  raiz 3-x si x >3

13-x” si x< o = que 3

intervalo cerrado: una funcion es continua de un intervalo cerrado [ a, b] si lo es en cada uno de los puntos de (a.b) y ademas lim f(x)= f(a)              lim f(x) = f(b)

                 x-> a+                                x->b-

si f  es continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces esta acotado en dicho intervalo.

estudiar la continuidad de la funcion:

f (x)  x” si x > 1

           1 si x > = que  1

en el intervalo [0,3]

3.9 Tipos de discontinuidades

Existen diferentes Tipos de Funciones Discontinuas tales como:

1.Discontinuidad evitable.

Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o no pertenece al dominio de f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.

Ejemplo. La función  es discontinua en x =3, pues la función no existe en 3, pero sí existe el límite en ese punto (comprobarlo) por lo tanto la discontinuidad es evitable

2.Discontinuidad inevitable o de primera especie.

Si existen los límites laterales en un punto, pero no coinciden, la discontinuidad se llama de salto. El salto (finito) es la diferencia entre estos valores (en valor absoluto). Cuando uno de los límites laterales de infinito se trata de una discontinuidad de salto infinito.

Ejemplo. a) la función signo  en x = 0 presenta una discontinuidad de salto 2, pues

             

y el salto es 1-(-1)=2.

b) La función f(x) = 1/x es discontinua en 0 de salto infinito.

3.Discontinuidad esencial o de segunda especie.

Si no existe alguno de los límites laterales la discontinuidad se dice de 2ª especie, o esencial.

Ejemplo. tiene una discontinuidad esencial en 0.

 

es decir no existen ni los límites laterales pues “oscilan entre 1 y -1

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